By Ernst Kunz

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2: Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktionen einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen.

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Andernfalls gibt es ein a1 2 L n K und es ist n1 := K (a1 ) : K ] > 1. Ist L = K (a1 ), so ist man wieder fertig. Ist L 6= K (a1 ), so gilt mit a2 2 L n K (a1) n2 := K (a1 ; a2 ) : K (a1 )] > 1 und K (a1; a2 ) : K ] = n1 n2 > n1 Das Verfahren mu nach endlich vielen Schritten abbrechen, da bei jedem Schritt der Grad zunimmt, aber durch L : K ] < 1 beschrankt ist. Da b) ! c) trivial ist, mu nur noch c) ! a) gezeigt werden. Sei L = K (a1 ; : : : ; an ) wie in c). Setze K0 := K und Ki := K (a1 ; : : : ; ai ) fur i = 1; : : : ; n .

Fur a = 0 + 1 d ( i 2 Q ) berechne man a , SpK=Q (a) und NK=Q (a) als Funktionen von 0 und 1 . 33 x 4. Teilbarkeit in Ringen Am Ende von x 3 hat sich gezeigt, da wir uns mit der Teilbarkeit in Polynomringen befassen mussen. Wir werden gleich allgemeiner die Teilbarkeitstheorie in beliebigen Ringen entwickeln, da die Betrachtungen uber Polynomringe ohnehin aus diesen herausfuhren und weil die Teilbarkeitstheorie zum grundlegenden Rustzeug der Algebra und Zahlentheorie gehort. Das Ziel ist es, den \Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie", den Satz von der eindeutigen Primzahlzerlegung in Z , auf weitere Ringe zu verallgemeinern.

Sei L=K eine beliebige Korpererweiterung. Die Menge K aller uber K algebraischen Elemente von L ist ein Zwischenkorper von L=K . Beweis: Es ist zu zeigen: Fur Elemente x; y 2 K sind auch x + y; x y; x y und, falls y 6= 0, auch x y 1 uber K algebraisch. 14 ist K (x; y) : K ] < 1 . Dann sind alle Elemente von K (x; y) uber K algebraisch. Definition: Der Korper K aller uber K algebraischen Elemente von L hei t der algebraische Abschlu von K in L . Insbesondere hat sich ergeben, da die Menge Q aller algebraischen Zahlen ein Teilkorper von C ist, der Korper aller algebraischen Zahlen.

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