By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes variety scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

Show description

Read Online or Download Algebra — aller Anfang ist leicht PDF

Best algebra books

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2: Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktionen einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen.

Additional info for Algebra — aller Anfang ist leicht

Example text

Y} mit M = {I, 2, 3, 4, 5, 6}. Da jede Relation R in M auch als eine Abbildung aus M in M aufgefaßt werden kann, läßt sich zur Veranschaulichung von R genauso wie bei Abbildungen der Graph einer Relation zeichnen, wie in Abb. 11 wieder für die Relation "ist Teiler von" in der Menge M. = {I, 2, 3, 4, 5, 6} ausgeführt. Ebenso gelangt man zu einem Pfeildiagramm der Relation; allerdings ist es üblich, für Relationen in M nicht zwei Exemplare des M entsprechenden Gebietes der Ebene zu zeichnen, sondern nur 4 Kästner, Algebra 50 2.

Ix = 0, a1 a2 a3 ... schreIben z. B. ist '4 = 0,250 ... ; ° 1~ = 0,18 ... ; ,; = 0,714285 .. ). Wäre I abzählbar unend- lich, so gäbe es mindestens eine eineindeutige Abbildung von 42 1. Mengen N auf 1. :. • = Xl = Xl = X3 Auf Grund unserer Annahme müssen durch diese Abbildung alle Elemente X EIerfaßt werden. Es lassen sich jedoch Elemente aus I angeben, die in dieser Liste nicht auftreten. Wir bilden ein x' = 0, b l b 2 b j b~ ... der Art, daß b, = 1 ist, falls alt =t= 1, und b, = 2, falls alt = 1.

17. Man zeige: daß die Menge aller Brüche der Form ~ n mit N \ {O} (Stammbrüche) und auch die Menge aller geordneten Paare natürlicher Zahlen abzählbar unendliche Mengen sind. 18. Man beweise: Die Menge R* aller gebrochenen Zahlen ist eine abzählbar unendliche Menge. nE 2. 1. Begriff der Relation: Viele Beispiele machen den Leser mit dem Begriff der Relation und Möglichkeiten ihrer Beschreibung bekannt. Objekte, Ereignisse und Begriffe pflegen wir oft dadurch zu erfassen, daß wir ihre Beziehungen zu anderen Objekten, Ereignissen bzw.

Download PDF sample

Rated 4.11 of 5 – based on 44 votes