By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausf?hrlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten f?hren Schritt f?r Schritt an die Ergebnisse heran und k?nnen durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingef?hrt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausf?hrlich erkl?rt und an Beispielen erprobt. Der Leser erh?lt dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis der Theorie. Auf der site zum Buch stehen ausf?hrliche L?sungsvorschl?ge zu den Aufgaben bereit.

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2: Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktionen einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen.

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3 Homomorphismen 25 Beweis: Im Fall U = {0} gilt n = 0. Daher gelte U = {0}. Da mit jedem Element aus U auch das Negative (das additive Inverse) in U liegt, gibt es natürliche Zahlen in U . Es sei n die kleinste natürliche Zahl in U , und m ∈ U sei beliebig. Division mit Rest liefert q, r ∈ Z mit m = n q + r, 0 ≤ r < n. Mit m und n liegt auch m − n q = r in U . Wegen r < n und der Minimalität von n geht das nur für r = 0. Also gilt m = n q und folglich U = n Z. Dieser Satz wird später mehrfach gute Dienste leisten.

2 Nebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Der erste etwas tieferliegende Struktursatz der Theorie endlicher Gruppen ist der Satz von Lagrange. Er besagt, dass eine endliche Gruppe mit n Elementen höchstens Untergruppen U haben kann, deren Ordnungen Teiler von n sind. Der Weg zum Beweis dieses Satzes von Lagrange führt über sogenannte Nebenklassen a U .

11. Für x ∈ ϕ−1 (V ), a ∈ G ist ϕ(x) ∈ V und ϕ(a x a−1 ) = ϕ(a) ϕ(x) ϕ(a)−1 ∈ V ; somit a x a−1 ∈ ϕ−1 (V ). 11. Zu jedem b ∈ H existiert wegen der Surjektivität von ϕ ein a ∈ G mit ϕ(a) = b, sodass für jedes x ∈ N : b ϕ(x) b−1 = ϕ(a x a−1 ) ∈ ϕ(N ) . Folglich ist ϕ(N ) ein Normalteiler in H. 3 Betrachte die beiden Untergruppen U und V von S3 : U := 1 1 2 3 3 2 UV = Id, 1 1 2 3 und V := 1 2 2 1 3 3 . Es gilt dann 3 , 2 1 2 2 1 3 , 3 1 3 2 1 3 2 . 9 von Lagrange sicher keine Untergruppe von S3 . 4 Sind U, V Untergruppen der Gruppe G mit U V = V U , so gilt U V ≤ G.

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