By Gabriela Jeronimo, Juan Sabia y Susana Tesauri

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2: Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktionen einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen.

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Vn > ⊆ S ⇐⇒ vi ∈ S ∀ 1 ≤ i ≤ n. Demostraci´ on. vn ∈ < v1 , . . , vn > ⊆ S, de donde vi ∈ S. (⇐) Como v1 , . . , vn ∈ S y S es un subespacio, entonces < v1 , . . , vn > ⊆ S. n i=1 αi vi ∈ S ∀ αi ∈ K. 29 Sea V un K-espacio vectorial, y sea {v1 , . . , vn , vn+1 } ⊆ V . Entonces < v1 , . . , vn , vn+1 > = < v1 , . . , vn > ⇐⇒ vn+1 ∈ < v1 , . . , vn >. Demostraci´ on. (⇒) Se tiene < v1 , . . , vn , vn+1 > ⊆ < v1 , . . , vn >. Entonces, por la proposici´on anterior, vn+1 ∈ < v1 , . . , vn >.

A es triangular superior. Si adem´as, Er . . A no tiene ceros en la diagonal, existen matrices elementales Er+1 , . . , Es tales que Es . . Er . . A = In . En consecuencia, A es producto de matrices elementales: A = E1−1 . . Es−1 , y A−1 = Es . . E1 . 4 Coordenadas 55 En particular, esta observaci´on nos dice que si por medio de la aplicaci´on de operaciones elementales a las filas de la matriz A obtenemos la matriz identidad I, entonces aplicando las mismas operaciones en las filas de I obtendremos A−1 .

Vr , wr+1 , . . , ws } es una base de S, resulta que αi = 0 para todo 1 ≤ i ≤ r y βj = 0 para todo r + 1 ≤ j ≤ s. Luego dim(S + T ) = r + (s − r) + (t − r) = s + t − r = dim S + dim T − dim(S ∩ T ). 2 Suma directa Un caso de especial importancia de suma de subespacios se presenta cuando S ∩ T = {0}. 44 Sea V un K-espacio vectorial, y sean S y T subespacios de V . Se dice que V es suma directa de S y T , y se nota V = S ⊕ T , si: 1. V = S + T , 2. S ∩ T = {0}. Ejemplo. Sean S = {x ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 0} y T = < (1, 1, 1) >.

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