By Ina Kersten

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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2: Lineare Algebra, Funktionen mehrerer Variablen

Mathematik gehört zu den Grundfächern für jeden Studierenden der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Er benötigt Kenntnisse der research, der Linearen Algebra sowie der Funktionen einer und mehrerer Variablen. Das zweibändige Taschenbuch, hervorgegangen aus Vorlesungen des Autors an der Universität Regensburg, stellt den Studienstoff sehr anschaulich dar, unterstützt durch eine Vielzahl von Beispielen und Abbildungen.

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Wenn V = U1 ⊕ U2 gilt). Man beweise f¨ ur einen n-dimensionalen K-Vektorraum V die folgenden beiden Aussagen: a) Ist U1 ein p-dimensionaler Teilraum von V , dann gibt es einen zu U1 komplement¨ aren Teilraum U2 , und jeder solche Teilraum U2 hat die Dimension n − p . b) Es ist V eine direkte Summe von 1-dimensionalen Teilr¨aumen: ur i = 1, . . , n . V = U1 ⊕ · · · ⊕ Un mit dimK Ui = 1 f¨ Aufgabe 19. Sei U1 der von den Vektoren v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (−2, −1, 1, 1), v3 = (−3, −2, 2, 3) und U2 der von den Vektoren v4 = (2, 1, 0, 3), v5 = (−1, −1, 0, −2), v6 = (7, 4, 0, 11) erzeugte Teilraum von ❘ .

Vn ) von V und eine Basis C = (w1 , . . , wm ) von W . Dann ordnen wir jedem f ∈ HomK (V, W ) eine von B und C abh¨angige Matrix MCB (f ) ∈ Mm×n (K), genannt Darstellungsmatrix , wie folgt zu: Sei f¨ ur j = 1, . . 4 eindeutige Basisdarstellung von f (vj ) ∈ W . Die Koeffizienten a1j , . . , amj ∈ K schreiben wir nun als j-Spalte (j = 1, . . , n) der Matrix ⎛ ⎞ a11 a12 · · · a1n ⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜ ⎟ MCB (f ) = ⎜ . .. ⎟ . ⎝ . . ⎠ am1 am2 · · · amn Satz. Die Abbildung MCB : HomK (V, W ) −→ Mm×n (K), f −→ MCB (f ) ist ein Isomorphismus von K-Vektorr¨ aumen.

F + g : ❘ → ❘ , x → f (x) + g(x) , und λf : ❘ → ❘ , x → λ f (x) . Man pr¨ ufe, ob U := { f ∈ V | f (x) = f (−x) ∀ x ∈ ❘ } ein Untervektorraum von V ist. Aufgabe 9. Man untersuche, welche der folgenden vier Mengen Untervektorr¨aume von ❘2 sind: U1 = { (x, y) ∈ ❘2 | y = x2 } U2 = { (x, y) ∈ ❘2 | x y } U3 = { (x, y) ∈ ❘2 | y = 2x } U4 = { (x, y) ∈ ❘2 | xy 0 } Aufgabe 10. Man stelle den Vektor w ∈ v1 , v2 , v3 dar: ❘3 jeweils als Linearkombination der Vektoren a) w = (3, 2, 1) , v1 = (1, 0, 1) , v2 = (7, 3, 1) , v3 = (4, 3, −1) b) w = (−8, 17, −14) , v1 = (2, 1, 0) , v2 = (3, 0, 5) , v3 = (−1, 4, −1) .

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